Линейное преобразование это:

Линейное преобразование
        переменных x1, x2, ..., xn — замена этих переменных на новые x'1, x’2, ..., x'n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:
         x1 = a11x’1 + a12x’2 + ... + annx’n + b1,
         x2 = a21x’1 + a22x’2 + ... + a2nx’n + b2,
         ...
         xn = an1x’1 + an2x’2 + ... + annx’n + bn,
         здесь aij и bi (i, j = 1,2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты. Если b1, b2,..., bn все равны нулю, то Л. п. переменных называют однородным.
         Простейшим примером Л. п. переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости
         х = x' cos α - y' sin α + a,
         у = x' sin α + y' cos α + b.
         Если Определитель D = ∣aij ∣, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x'1, x'2, ..., x'n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат
        
        
         и
         x’ =x cos α + ysin α + a1
         y’ = -x sin α + cos α + b1
         где a1 = - a cos α - b sin α, b2 = a sin α - b cos (. Другими примерами Л. п. переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.
         Л. п. векторов (или Л. п. векторного пространства (См. Векторное пространство)) называют закон, по которому вектору х из n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x', координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х:
         x’1 = a11x1 + a12x2 + ... +a1nxn
         x’2 = a21x1 + a22x2 + ... +a2nxn
         ...
         x’n = an1x1 + an2x2 + ... +annxn,
         или коротко
         x' = Ax.
         Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b, координаты x', y'., z' которого выражаются через х, у, z следующим образом : x' = х, y' = у, z' = 0. Пример Л. п. плоскости — поворот её на угол α вокруг начала координат. Матрицу (См. Матрица)
        ,
        ,
         составленную из коэффициентов Л. п. А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно
        
         и
         Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие ху = Ax называют Л. п., если выполняются условия А(х + у) = Ax + Ау и Ax) = αА(х) для любых векторов х и у и любого числа α. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.
         К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.
         Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Л. п. А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх).
         В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует Кольцо. Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности (См. Коммутативность). Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п. А переводит вектор х в вектор у = Ax, то αА переводит х в αу. Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0. 2) А и В — повороты плоскости вокруг начала координат на углы φ и ψ; AB будет поворотом на угол φ + ψ. 3) Произведение единичного Л. п. Е на число α будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) α.
         Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А-1), если BA = Е (или AB = Е). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. А-1 переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные — в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: ∑kaikajk = ∑kakiakj = 0 при i ≠ j, ∑ka2ik = ∑ka2ki = 1 (в комплексном пространстве ∑kaikjk = ∑kakikj = 0, ∑k|ajk|2 = ∑k|aki|2 = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, — в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица которого симметрическая: aij = aji (или (aij = a̅ij). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).
         Приведённое выше определение Л. п. в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами (См. Линейный оператор).
        
         Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. P., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Линейное преобразование" в других словарях:

  • ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — 1) линейное преобразование переменных x1, x2, ..., xn, замена этих переменных на новые y1, y2, ..., yn, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам: здесь aij, bj (i, j ?1,..., n) произвольные числа.2) линейное… …   Большой Энциклопедический словарь

  • линейное преобразование — [IEV number 314 02 04] EN linear conversion conversion for which the quotient of each change in the output value by the corresponding change in the input value is intended to be constant [IEV number 314 02 04] FR conversion linéaire… …   Справочник технического переводчика

  • линейное преобразование — 1) Линейное преобразование переменных x1, x2, ..., xn, замена этих переменных на новые y1, y2, ..., yn, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, то есть по формулам: x1 = a11y1 + ... + a1nyn + b1 …   Энциклопедический словарь

  • Линейное преобразование — Л., или проективным, преобразованием плоскости называется такой переход от одной плоскости к другой, при котором все точки любой прямой, лежащей в первой плоскости, образуют во второй плоскости тоже прямую. Этот переход достигается… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • линейное преобразование — tiesinė transformacija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. linear transformation vok. Lineartransformation, f rus. линейное преобразование, n pranc. transformation linéaire, f …   Automatikos terminų žodynas

  • линейное преобразование — tiesinis keitimas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Keitimas, kai išėjimo dydžio kiekvienos vertės ir atitinkamos įėjimo dydžio vertės pokyčių dalmuo yra pastovus. atitikmenys: angl. linear conversion vok. linear… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • линейное преобразование — tiesinė transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. linear transformation vok. lineare Transformation, f rus. линейное преобразование, n pranc. transformation linéaire, f …   Fizikos terminų žodynas

  • ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — отображение векторного пространства в себя, при к ром образом суммы двух векторов является сумма их образов, а образом произведения вектора на число произведение образа вектора на это число. Если V векторное пространство, f заданное в нем Л. п. и …   Математическая энциклопедия

  • Линейное преобразование — Линейным отображением (линейным оператором) векторного пространства LK над полем K в векторное пространство MK (над тем же полем K) называется отображение , удовлетворяющее условию линейности f(αx + βy) = αf(x) + βf(y). для всех и …   Википедия

  • ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — 1) Л. п. переменных х1,...х2...хn, замена этих переменных на новые у1, у2,..., уn, через которые первонач. неременные выражаются линейно, т. е. по ф лам: x1=а11y1 + ...+а1nуn + b1, xn=аn1y1 + ...+аnnуn + bn, здесь aij, bj (i, j = 1, ..., п)… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Линейное преобразование» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»