Непер

(Джон, барон Мерчистон) — шотландский математик (1550—1617). Название Neper, иногда представляемое в форме Nepair (также Napier, Napeir, Napair, Naper), присоединилось с настоящему имени рода только в XIV столетии. В ранней молодости, тотчас же по окончании курса в коллегии св. Андрея (куда Н. поступил в 1563 г.), Н. совершил путешествие по Германии, Франции и Италии, из которого вернулся на родину в 1571 году. Поселившись в своем родном замке и женившись в том же году, он затем уже никогда не оставлял Шотландии. Все его время было посвящено занятиям богословскими предметами и математикой. По его собственным словам, истолкование пророчеств всегда составляло главный предмет его занятий, математика же служила для него только отдыхом. Его толкование на Апокалипсис: "A plaine discovery of the whole revelation of S. John etc." вышло в Эдинбурге, в 1593 г. (последнее изд. при жизни автора, Л., 1611). Оно написано в форме, усвоенной геометрическими сочинениями, т. е. с разделением содержания на предложения и доказательства. 26-е предложение утверждало, что папа есть антихрист, 36-е — что упоминаемая в Апокалипсисе саранча означает турок и мухаммедан и проч. Конец мира, по предсказанию автора, должен был иметь место между 1688 и 1700 гг. Книга имела несравненно больший успех, чем научные произведения автора. Появилось несколько ее переводов в Германии, а французский, изданный в Ла-Рошели, выдержал два издания (в 1662 и 1665 гг.). В Англии после смерти Н. вышло еще несколько изданий.

Можно с большой вероятностью предполагать, что Н. был знаком с книгой "Arithmetica integra" Михаила Штифеля, в которой впервые нашла свое выражение идея логарифма. Главным предметом самостоятельных работ Н. была тригонометрия, а определяющей их направление целью — сокращение и упрощение вычислений, осуществленной в обессмертившем имя Н. изобретении логарифмов. Изложению результатов этого изобретения было посвящено сочинение, напечатанное в 1614 г. в Эдинбурге под заглавием: "Mirifici logarithmorum canonis descriptio, ejusque usus, in utraque Trigonometria, ut etiam in omni logistica mathematica, amplissimi, facillimi et expeditissimi explicatio; authore et inventore Joanni Nepero, barone Merchistanii etc." (56 стр. текста и 90 стр. таблиц). Сочинение разделено на 2 книги, из которых первая занимается логарифмами, а вторая — плоской и сферической тригонометрией вместе с приложениями логарифмов. Пять глав первой книги излагают соответственно определения, свойства логарифмов, описание таблиц, их употребление и примеры, а из 6 глав, составляющих вторую, первые две рассматривают решение прямо- и косоугольных прямолинейных треугольников, а 4 последние — занимаются сферическими треугольниками. Из изложенных в них результатов самостоятельных исследований Н. особенно важными должны считаться его аналогии, рассматриваемые в VI-й гл. Также чрезвычайно удачно задумано сведение всех случаев, представляемых прямоугольными сферическими треугольниками, в два предложения. Образование прогрессии, арифметической, члены которой Н. называл в начале numeri artificiales, a позднее логарифмами, и геометрической, состоящей из чисел, соответствующих логарифмам, производилось им при посредстве следующих механических соображений о течении (fluxus) точки. Из точки A течет точка B, протекающая в первую единицу времени путь от A до C, во вторую — от C до D и т. д. Если эти пути равны, то пространства, пройденные от начала движения до конца каждой из последовательных единиц времени, представят члены арифметической прогрессии. Вместе с этим движением существует и равновременное с ним другое (synchronus motus), т. е. такое, при рассмотрении которого кладутся в основание те же единицы времени, как и при первом. Но пространства, проходимые в эти единицы времени, не равны, они уменьшаются пропорционально. Именно, если в первую единицу времени пройдена 1/m всего предстоящего точке пути, то во вторую она пройдет 1/m оставшегося пути и т. д., то есть, если принять весь предстоящий точке от начала движения путь за единицу, то пространства, проходимые в последовательные единицы времени, представятся рядом 1/m, 1/m∙[(m—1)/m], 1/m∙[(m—1)/m]², 1/m∙[(m—1)/m]³..., а части всего пути, остающиеся после каждой единицы времени для дальнейшего прохождения, составят следующую убывающую геометрическую прогрессию:

1—1/m = (m—1)/m, (m—1)/m—(1/m)∙[(m—1)/m] = [(m—1)/m]², [(m—1)/m]²—(1/m)^.[(m—1)/m]² = [(m—1)/m]³...

члены которой, начиная с первого, расположены в соответствии с членами первой или арифметической прогрессии. Выбор синуса или числа, которому соответствует логарифм 0, Н. оставляет свободным, хотя и указывает, что наименьшие затруднения представляются при выборе синуса тотуса (sin 90°). Исследование таблиц синусов и их логарифмов, составленных Н. на основании изложенных соображений, показало, что эти логарифмы вовсе не гиперболические или натуральные, как это было принято думать в истории математики вследствие утверждения Монтюкла, а в учебниках со времен Лакруа, назвавшего гиперболические логарифмы Неперовыми. Другими словами, оказалось, что основание Неперовых логарифмов есть не e=2,718281828..., но совершенно другое число (10/е^0,1)⁷=9999997.

Состав Неперовых таблиц следующий. Каждые две рядом лежащие страницы их относятся к одному и тому же числу угловых градусов, написанному сверху, или, что то же самое, к числу градусов, дополняющему первое до 89° и написанному снизу. Каждая страница содержит в себе 7 столбцов, из которых в первом и последнем помещены числа минут от 1 до 30 или от 30 до 60 в восходящем порядке сверху вниз в первом и в обратном порядке в последнем. Столбцы 2 и 6 с надписью Sinus содержат синусы находящихся в одних горизонтальных строках углов или косинусы им дополнительных. Столбцы 3 и 5, озаглавленные Logarithmi, заключают в себе логарифмы помещенных рядом с ними синусов. Наконец, средний или 4 столбец, с надписью Differentiae, содержит разности между написанными справа и слева от него логарифмами, представляющие в силу формулы log sinφ— log cosφ = log tangφ логарифмы тангенсов. Неперовы таблицы, кроме своего прямого назначения — давать логарифмы синусов, косинусов и тангенсов, могли употребляться также и для нахождения логарифмов натуральных чисел. Чтобы определить, например, log 137, достаточно, найдя в таблице секансов данное 13703048=sec 43°8', отыскать в Неперовых таблицах — log cos 43°8' = 3150332.

В первом издании своих таблиц Н. ничего не сказал о способах их вычисления. Он посвятил им сочинение, хотя и написанное даже ранее самих таблиц, но оставшееся и после смерти автора не отделанным окончательно. В таком виде оно и было напечатано его сыном Робертом при вышедшем в 1619 г. втором издании таблиц под отдельным заглавием: "Mirifici logarithmorum canonis constructio... Una cum annotationibus aliquot doctissimi D. Henrici Briggii, in eas et memoratam appendicem" (Эдинбург, 1619). В приложенном к этому сочинению прибавлении автор говорит главным образом о методах вычисления логарифмов в том случае, когда логарифм = 0 принадлежит единице. Здесь, поэтому, впервые, хотя и не с особенной ясностью, выставляется сходство между логарифмом и показателем, говорится об основании системы логарифмов, хотя только в виде числа, имеющего логарифмом единицу, наконец, делаются отрывочные замечания и о вычислении обыкновенных логарифмов. Н. принадлежит еще третье сочинение, также посвященное главной цели работ автора — сокращению и упрощению вычислений. Оно озаглавлено "Rabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo: cum appendice de expeditissimo multiplicationis promptuario, quibus accessit et arithmeticae localis liber unus" (Эдинбург, 1617) и описывает изобретенный автором счетный прибор (см. Неперовы палочки). Сочинение это переведено на голландский и итальянский языки. В текущем столетии было издано впервые четвертое математическое сочинение Н. под заглавием: "De arte logistica" (Лондон, 1842). Краткая биография Н., вместе с подробным каталогом его работ находится при напечатанном в 1889 г. английском переводе "Mirifici logarithmorum canonis constructio".

Ср. W. R. Macdonald, "The construction of the wonderful canon of logarithms by John Napier etc." (Эдинбург).

B. Бобынин.