Вы можете отметить интересные вам фрагменты текста, которые будут доступны по уникальной ссылке в адресной строке браузера.


Бином Ньютона

Перевод
Бином Ньютона
алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно:
(х + а)n = хn + n/1(axn—1) + [n/(n—1)/1.2](а2хn—2) + …[n(n—1)(n—2)…(n—m+1)/1.2.3…m](anxn—m) + …
или, в компактной форме, пользуясь символом n! = 1.2.3…n:
(х + а)n = ∑m[n!/{m!(n — m)}](!xn—mam
Формула эта была впервые дана Ньютоном в 1676 г. без доказательства. Она высечена на гробнице Ньютона, в Вестминстерском аббатстве, в Лондоне, хотя далеко не может считаться одним из важнейших открытий Ньютона.
Доказательство формулы Б. для целого показателя получается легко, как частный случай из более общей формулы, выражающей произведение произвольного числа двучленов. Легко убедиться непосредственным умножением, что для случая n = 2 или n = 3 имеет место формула:
(x + a1)(х + а2)…(х + аn) = хn + Sn1xn—l + Sn2xn—2 + … + Snn
где Sn1 есть сумма данных количеств a1, a2. . . аn, Sn2 сумма произведений их по два, — Snn произведение всех этих количеств. А затем можно доказать, что если она верна для n, то верна и для n +1 множителей. Ибо, прибавив один множитель х + аn+1, получим прямым умножением
(x + a1)(x + a2)…(x + an—1) = хn—1 + (Sn1 + an+1)xn + (Sn2 + Sn1an—1)xn—1 + … + Snnan
и в то же время очевидно, что
Sn1 + an+1 + 1 = S1n+1
Sn2 + Sn1an+1 = S2n+1
и т. д., так что правая часть последнего равенства есть
xn+1 + S1n+1xn + S2n+1хn—1 + … + (Sn+1)n+1
и т. д. Пусть теперь все а равны между собой и равны, например, а, тогда:
S1 = na
S2 = [n(n — 1)/1.2]а2
и получим (х + а)n = xn + naxn—1 + [n(n — 1)/1.2](a2xn—2) + …
Таким образом верность формулы Ньютона для n целого, положительного доказана. Но уже и сам Ньютон показал, что она верна и для дробного, и для отрицательного. Приведем доказательство Эйлера для n какого угодно. Рассмотрим выражение:
1 + nx + [n(n — 1)/1.2(x2)] + [n(n — 1)(n — 2)/1.2.3]x3 + …
Для n целого оно равно (1 + x)n. Пусть для всякого n оно есть вообще f(n). Точно так же пусть подобное же выражение с заменой n на m есть f(m). Перемножая, находим, с одной стороны, f(n)f(m), с другой стороны — выражение, закон составления коэффициентов которого нам известен из случая n, m целых, именно:
f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m)(n + m — 1)/1.2]x2 + [(n + m)(n + m — 1)(n + m — 2)/1.2.3]x3 + …
а это есть очевидно f(n+m). Итак, мы получили f(n)f(m) = f(n + m); точно так же для произвольного числа множителей f(n1)f(n2).. . f(nμ) = f(n1+n2+…+nμ); полагая n1 = n2 =…= nμ = λ/μ, имеем
Таким образом формула Б. Ньютона распространяется на показатели, представляющие соизмеримую дробь. А отсюда легко перейти и к несоизмеримому показателю. Точно так же формула f(m)f(n) = f(m+n) дает сразу обобщение и на случай отрицательного показателя. Ибо при m+n = 0 имеем
Таким образом формула Б. Ньютона распространяется на показатели, представляющие соизмеримую дробь. А отсюда легко перейти и к несоизмеримому показателю. Точно так же формула f(m)f(n) = f(m+n) дает сразу обобщение и на случай отрицательного показателя. Ибо при m+n = 0 имеем
f(n)f(–n) = f(0) = 1, т. е. f(–n) = 1/f(n) или
f(–n) = (1 + x)–l = nx + [n(n — 1)/1.2]x2 — [n(n — l)(n — 2)/1.2.3]x3 + … и т. д.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.

См. также в других словарях:

  • Бином ньютона — Бином Ньютона  это формула , где   биномиальные коэффициенты, n  неотрицательное целое число. Содержание 1 Доказательство …   Википедия

  • бином ньютона — БИНОМ, а, м. (или бином ньютона). Ирон. О чем л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова… …   Словарь русского арго

  • БИНОМ НЬЮТОНА — БИНОМ НЬЮТОНА, математическое правило разложения алгебраического выражения (а+b)n в ряд степеней численных значений х и у (где n положительное число). При n 2 разложение выглядит таким образом: (х+у)2=х2+2ху+у2 …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Бином Ньютона — Бином Ньютона  формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид , где   биномиальные коэффициенты,   неотрицательное целое число. В таком виде эта формула была известна… …   Википедия

  • Бином Ньютона — Разг. Шутл. О чём л. сложном, запутанном. Елистратов, 41 …   Большой словарь русских поговорок

  • Подумаешь, бином Ньютона! — Из романа (гл. 18 «Неудачливые визитеры») «Мастер и Маргарита» (1940) Михаила Афанасьевича Булгакова (1891 1940). Слова Коровьева Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым. Последний пришел жаловаться на… …   Словарь крылатых слов и выражений

  • бином — а, м. binôme, лат. binomia m. 1. мат. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность одночленов; двучлен. БАС 2. Боюсь, еслиб я и осмелился представить здесь самое простое развитие двучленника (бинома) Ньютонова необходимого для сего …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Ньютона бином — Бином Ньютона  это формула , где   биномиальные коэффициенты, n  неотрицательное целое число. Содержание 1 Доказательство …   Википедия

  • БИНОМ — (от лат. bis дважды, и греч. nomos часть, отдел). Двучлен (в алгебре). Бином Ньютона общая формула для возведения двучленного количества в любую степень. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. БИНОМ в… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Бином — (лат. bis  дважды, nomen  имя) или двучлен частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых мономов (одночленов). Например: Для вычисления степеней биномов используется бином Ньютона: А также …   Википедия