Асимптота

Асимптота (от греч. слов: a, sun, piptw) - несовпадающая. Подасимптотой подразумевается такая линия, которая, будучи неопределеннопродолжена, приближается к данной кривой линии или к некоторой ее частитак, что расстояние между общими линиями делается менее всякой даннойвеличины; иначе говоря, А. касается данной кривой линии на бесконечномрасстоянии от начала координат. Всякая другая линия, параллельная А.,хотя и приближается непрестанно к кривой, однако не может быть названа всвою очередь А., так как расстояние ее от кривой не может быть уменьшенопо произволению. Таким образом, число А. для каждой кривой вполнеограничено. С тех пор как греческие геометры стали исследовать свойствокривых линий, образующихся на поверхности конуса от пересечения егоплоскостью, стало известным, что ветви гиперболы, будучи неопределеннопродолжены, непрестанно сближаются с двумя прямыми линиями, исходящимииз центра гиперболы и одинаково наклоненными к её оси. Эти прямые, окоторых упоминает уже Архимед, были еще в древности названы А. исохранили свое название и по настоящее время. Впоследствии Ньютонпоказал, что существуют криволинейные А. не только в кривыхтрансцендентных, но даже в алгебраических, начиная с 3 порядкапоследних. Действительно, ныне различают А. прямолинейные икриволинейные; но, обыкновенно, прямолинейной А. присваивают названиеАсимп., называя криволинейную - асимптотической кривой. Основываясь на вышеприведенном определении,что прямолинейная А. есть касательная к кривой в точке, бесконечноудаленной от начала координат, легко найти уравнение А. данной кривой. Всамом деле, пусть y=f(x) есть уравнение кривой линии; уравнениекасательной ее в точке, определенной координатами х и у, будет, какизвестно, или . Чтобы перейти от касательной к А., стоит сделать одно из следующихпредположений: 1) х и у =+? , 2) x=+?, а у=конечному числу и 3) у= +?, ах=конечному числу, так как этими предположениями мы выражаем, что точкакасания находится на бесконечном расстоянии от начала координат. Так,для гиперболы, определяемой уравнением , находим Полагая х =?, найдем ;следовательно уравнение А. рассматриваемой гиперболы будет или, что всеравно, ; последние два уравнения показывают, что гипербола имеет две А.Можно также определить А. следующим образом. Пусть будет Y А. =Х+Вуравнение А., непараллельной оси у. Ордината у кривой, соответствующаяабсциссе х, для весьма больших величин сей абсциссы, будет очень малоразниться от ординаты Y а-ты; так что можно ее принять у=Ах+В+e ,подразумевая под e количество, уничтожающееся вместе с I/x. Итак,полагая х=? , найдем , и пред. (у - Ах)= пред. (В+e)=В. Следовательно,для определения постоянного количества стоит только в уравнении кривойположить или y=xq и найти предел, к которому стремится q для бесконечнобольших значений х. Величина В определится, если в уравнении кривойпримем у - Ах = n, или y = Ax + n. Изменив х на у и наоборот, ирассуждая также, как и выше, найдем А., непараллельные оси х. Так,например, уравнение рассмотренной нами гиперболы, через подстановку qxвместо у, дает или полагая х =?, найдём , или Полагая в том же уравненииполучим или , где, полагая х=?, получим n=0=B; следовательно, уравнениеА. предложенной гиперболы будет, как и выше, , что и требовалосьдоказать. бесчисленное множество кривых имеет А.; укажем, кромеупомянутой уже гиперболы, следующие кривые, имеющие А.: конхоида,логарифмическая линия, циссоида, декартов лист и др. Пример асимптотической кривой усматриваем в кривой 3-го порядка,определяемой уравнением y=х2 + I/х. Очевидно, что по мере увеличенияабсциссы х в положительную или отрицательную сторону, член I/x будетнеопределенно уменьшаться, а х2 увеличиваться, так что ордината у будетприближаться все более и более к значению х2, которого однако никогда недостигает. Отсюда ясно, что рассматриваемая нами кривая имеет А-скойкривой параболу, определяемую уравнением у=х2 Для весьма малыхположительных или отрицательных значений абсциссы х случится обратноеположение: численная величина дроби I/x неопределённо возрастает, а х2напротив того, уменьшается, так что ордината у будет стремиться кравенству с I/x ; таким образом, равностороння гипербола, отнесенная всвоим асимптотам, будет также А-ою предложенной кривой.